直线与圆锥曲线交点问题探究论文
2022-11-15
问：圆锥曲线与直线的交点
- 答：分类讨论
①直线的斜率等于到双曲线渐近如果不定义此行的一个顶点，有无数
②直线的斜率不等于一倍的曲线渐近线的斜率
线性联立方程和双曲线方程，得到x或y线性方程组
△= 0计算直线的斜率K表
同样，如果不限定于这条线在一个顶点，则有无数条 - 答：首先明确，判别式是用来判别一元二次方程在R上的根情况的。而无论是直线方程还是圆锥曲线方程都是二元二次的，所以所谓联立方程就是将其转化为我们可以处理的一元二次方程的过程。而这个转化过程非常关键，必须是同解变形，变形后不能增添或减少原方程组所带信息。而直线方程与圆锥曲线联立时我们本质上采用的是代入消元法，将直线方程Ax+By+C=0表示成y=Mx+Ny的形式带入圆锥曲线方程从而消去x。代入消元法是同解变形，是可靠的。因此直线可以这样做。那两个圆锥曲线呢，你联立后怎么变形呢？盲目的变形很有可能带来错误。考察方程组x^2=1且x=1，这个方程组的解很显然了就是x=1嘛，但我们上下相减得x^2-x=0，从而解得x=1或0，这是荒谬的。正因此我们不能对两圆锥曲线联立用判别式。
问：直线与圆锥曲线的位置关系是什么？
- 答：直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
1、从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
2、从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿＝0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
基本的研究方法分为两类：
一、联立直线与圆锥曲线方程，运用Δ判断交点个数，从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，但在范围问题中，Δ却是提供参数范围的一个最常用的不等式，十分重要。
二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法。
问："直线与圆锥曲线相交
- 答：圆的弦长公式是：
1、弦长=2Rsina
R是半径,a是圆心角。
2、弧长L,半径R。
弦长=2Rsin(L*180/πR)
直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。
弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]
其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号。
PS：圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
扩展资料：
若直线l:y=kx+b,与圆锥曲线相交与A、B两点，A(x1,y1)B(x2,y2)
弦长|AB|=√[（x1-x2）^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2]
=√（1+k^2）|x1-x2|
=√(1+k^2)√[（x1+x2）^2-4x1x2]
知道弧长半径，求弦长。
已知弧长L=19.5米，半径R=14.2米。设该弧所对的园心角为φ，弦长为C，则φ=L/R（弧度），φ/2=L/2R, C=2Rsin(φ/2).
∴C=2*14.2sin(19.5/28.4)=28.4sin[(19.5/28.4 )(180°/π)]
=28.4sin39.34°=28.4*0.6339=18.00276米≈18米
